Additive Function

Definition / 释义

加性函数：指满足“加法可分解”性质的函数，最常见的定义是对某个定义域中的任意 \(x,y\)，都有
\[ f(x+y)=f(x)+f(y). \]
它常出现在函数方程（如柯西函数方程）与数论中（如“加性算术函数”，满足 \(f(mn)=f(m)+f(n)\)（当 \(m,n\) 互素时）这一类变体）。不同领域对“additive”所指的加法结构可能略有差别。

Pronunciation / 发音

/ˈædɪtɪv ˈfʌŋkʃən/

Examples / 例句

In this course, we study additive functions on the integers.
在这门课里，我们研究定义在整数上的加性函数。

Every continuous additive function on the real numbers is of the form \(f(x)=cx\), but without regularity assumptions there are pathological examples.
在实数范围内，每个连续的加性函数都可以写成 \(f(x)=cx\) 的形式；但如果不加连续性等“正则性”条件，也会出现一些反直觉的病态例子。

Etymology / 词源

additive 来自拉丁语 addere（ad- “向、去” + dare “给”），本义是“加上去的、可相加的”。function 来自拉丁语 functio（“执行、作用、职能”），后来在数学中专指“变量之间的对应关系”。合起来 additive function 字面即“具有可加性质的函数”。

Related Words / 相关词

• Additive
• Additivity
• Cauchy Equation
• Linear Function
• Homomorphism
• Multiplicative Function
• Functional Equation
• Continuity
• Group
• Arithmetic Function

Literary Works / 文学作品中的用例

• **G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers**（讨论加性/乘性算术函数等概念时会出现相关术语）
• **Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory**（数论语境中常用“additive (arithmetic) function”）
• **Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis**（涉及柯西型函数方程与加性条件的讨论）
• **Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis**（在抽象结构与函数性质的语境中出现“additive”相关表述）